Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 7$ et $AD=9$. On place les points $M$, $N$, $P$ et $Q$, respectivement sur les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ tels que $AM=BN=CP=DQ=x$ On s'intéresse aux variations de l'aire de $MNPQ$ : En faisant varier la valeur de $x$ sur la figure ci-contre, conjecture la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de $MNPQ$ est minimale. En exprimant les différentes longueurs en fonction de $x$, montrer que l'aire de$MNPQ$ peut s'écrire $f (x) = 2x^2 -16x+63$. Donner le tableau de variation de l'aire $f (x)$ de $MNPQ$ pour $x \in [0;7]$. Confirmer la conjecture. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de $MNPQ$ vaut $25$ cm². Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire de $MNPQ$ est inférieure ou égale à $40$ cm². Soit $ABC$ un triangle rectangle tel que $AB = 10$ et $AC=5$. On place les points $M$, $N$ et $P$, respectivement sur les segments $[AC]$, $[BC]$ et $[AB]$ tels que $CM=x$ et $MNPA$ forme un rectangle. En utilisant un théorème connu, déterminer la longueur $MN$. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de $MNPA$ est maximale. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de $MNPA$ est inférieure à $8$ cm².